Definition of Determinant

本文讨论determinant（行列式）的定义。

参考资料：

• 行列式的逆序数定义是怎么想出来的？ - 踧远陵歊的回答 - 知乎
• Laplace expansion - wiki

行列式定义

下面给出几种行列式的定义。

行列式的第一公理化构造

满足以下三条性质的函数 \(\mathcal{D}:M_n(F) \rightarrow F\)

1. （斜对称性）\(\mathcal{D}(\ldots, a_i, \ldots, a_j , \ldots) = -\mathcal{D}(\ldots, a_j, \ldots, a_i, \ldots)\)
2. （多重线性）\(\mathcal{D}(\ldots, c_1a_1+c_2a_2\cdots,\ldots) = c_1\mathcal{D}(\ldots, a_1, \ldots) + c_2\mathcal{D}(\ldots, a_2, \ldots) + \cdots\)
3. （正规化条件）\(\mathcal{D}(E) = 1\)

是唯一确定的，称作矩阵\(A\)的行列式。数域 \(F\) 可以是 \(\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\) 。

第二公理化构造

函数 \(\mathcal{D}\) 需要满足以下三个条件：

1. \(\mathcal{D}(\ldots, \lambda a_i, \ldots) = \lambda \mathcal{D}(\ldots, a_i, \ldots)\)
2. \(\mathcal{D}(\ldots, a_i + a_j, \ldots , a_j, \ldots) = \mathcal{D}(\ldots, a_i, \ldots, a_j, \ldots)\)
3. \(\mathcal{D}(E) = 1\)

余子式展开的归纳定义

\[\mathcal{D}(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}\]

通过乘法性质的刻画

函数 \(\mathcal{D}\) 需要满足下面三个条件：

1. \(\forall A, B \in M_n, \mathcal{D}(AB) = \mathcal{D}(A)\mathcal{D}(B)\)
2. 对于 \(E(i,j)\), \(\mathcal{D}(E(i,j)) = -1\)，\(E(i,j)\) 表示交换两行的初等变换。
3. 对于主对角线为 \((\lambda, 1, 1, \ldots, 1)\) 的上三角矩阵 \(A\)，\(\mathcal{D}(A) = \lambda\)

行列式几种定义的等价性

第一公理推出第二公理

\[ \begin{align} & \because \mathcal{D}\left(\ldots, \sum_{i} c_i a_i , \ldots\right) = \sum_{i}c_i\mathcal{D}\left(\ldots, a_i, \ldots \right) \\ & \therefore \mathcal{D}\left( \ldots, \lambda a, \ldots \right) = \lambda \mathcal{D}\left( \ldots, a, \ldots \right) \\ & \because \mathcal{D}\left(\ldots, a, \ldots, a, \ldots\right) = - \mathcal{D}\left(\ldots, a,\ldots, a, \ldots \right) \\ & \therefore \mathcal{D}\left(\ldots, a, \ldots, a, \ldots \right)=0 \\ & \therefore \mathcal{D}\left(\ldots, a_i+a_j, \ldots, a_j, \ldots\right) \\ &= \mathcal{D}\left(\ldots, a_i, \ldots, a_j, \ldots \right) + \mathcal{D}\left(\ldots, a_j, \ldots, a_j, \ldots \right) \\ & = \mathcal{D}\left(\ldots, a_i, \ldots, a_j, \ldots \right) \\ \end{align} \]

第二公理推出第一公理

todo!

Laplace expansion

设 \(A \in M_n\)，\(i,j \in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace\)，\(B\) 的元素为 \(b_{i,j}\)，\(M_{i,j}\) 为 \(B\) 去除第 \(i\) 行 \(j\) 列的余子式，\(a_{s,t}\) 为 \(M_{i,j}\) 的元素。

考虑 \(\det B\) 中包含 \(b_{i,j}\) 的项，具有以下形式：

\[\begin{align} & \text{sgn}(\tau) b_{1,\tau(1)} b_{2, \tau(2)} \cdots b_{i,j} \cdots b_{n, \tau(n)} \\ = & \text{sgn}(\tau) b_{i,j} b_{1,\tau(1)} b_{2,\tau(2)} \cdots b_{i-1,\tau(i-1)} b_{i+1,\tau(i+1) \cdots b_{n, \tau(n)}} \\ = & \text{sgn}(\tau) b_{i,j} a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} \cdots a_{i-1, \sigma(i-1)} a_{i, \sigma(i)} \cdots a_{n-1, \sigma(n-1)} \end{align}\]

其中 \(\tau \in S_n\) 是某个排列，\(j = \tau(i)\) ， 存在一个唯一的排列 \(\sigma \in S_{n-1}\)，事实上 \(\sigma \leftrightarrow \tau\) 构成了 \(S_{n-1}\) 和 \(\lbrace \tau \in S_n : \tau(i)=j \rbrace\) 之间的一一映射。\(\tau\) 和 \(\sigma\) 之间的关系如下：

\[\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & i-1 & i & \cdots & n-1 \\ (\leftarrow)_j \tau(1) & (\leftarrow)_j \tau(2) & \cdots & (\leftarrow)_j \tau(i-1) & (\leftarrow)_j \tau(i+1)& \cdots & (\leftarrow)_j \tau(n) \end{pmatrix}\]

其中 \((\leftarrow)_j = (n, n-1, \ldots, j+1, j)\) 表示一个cycle，其含义是将大于 \(j\) 的数字减去 \(1\)，从而将所有数字映射到 \(\lbrace 1, 2, \ldots, n-1 \rbrace\) 。

排列 \(\tau\) 也可以由 \(\sigma\) 得到。首先定义 \(\sigma'\in S_n\)，对于 \(1\leq k \leq n-1\)，\(\sigma'(k) = \sigma(k)\)，并且 \(\sigma'(n) = n\)，即：

\[\sigma' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & i-1 & i & \cdots & n-1 & n\\ (\leftarrow)_j \tau(1) & (\leftarrow)_j \tau(2) & \cdots & (\leftarrow)_j \tau(i-1) & (\leftarrow)_j \tau(i+1)& \cdots & (\leftarrow)_j \tau(n) & n \end{pmatrix}\]

首先作用 \((\leftarrow)_i\) 然后作用 \(\sigma'\) 得到：

\[\sigma' (\leftarrow)_i = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & i-1 & i+1 & \cdots & n & i\\ (\leftarrow)_j \tau(1) & (\leftarrow)_j \tau(2) & \cdots & (\leftarrow)_j \tau(i-1) & (\leftarrow)_j \tau(i+1)& \cdots & (\leftarrow)_j \tau(n) & n \end{pmatrix}\]

首先作用 \(\tau\) 然后作用 \((\leftarrow)_j\) 得到：

\[(\leftarrow)_j \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & i-1 & i & i+1 & \cdots & n\\ (\leftarrow)_j \tau(1) & (\leftarrow)_j \tau(2) & \cdots & (\leftarrow)_j \tau(i-1) & n & (\leftarrow)_j \tau(i+1) & \cdots & (\leftarrow)_j \tau(n) \end{pmatrix}\]

观察可得 \(\sigma' (\leftarrow)_i = (\leftarrow)_j \tau\)，所以

\[\begin{align} \tau & = (\rightarrow)_j \sigma' (\leftarrow)_i \\ & = \begin{pmatrix}j & j+1 & \cdots & n \end{pmatrix} \sigma' \begin{pmatrix} n & n-1 & \cdots & i \end{pmatrix} \\ \text{sgn}(\tau) & = \text{sgn}(\sigma') (-1)^{n-j + n-i} = \text{sgn}(\sigma) (-1)^{i+j} \end{align}\]

长度为 \(n\) 的 cycle \(c_n\) 可以分解为 \(n-1\) 次交换，所以 \(\text{sgn}(c_n) = (-1)^{n-1}\) 。

既然 \(\tau \leftrightarrow \sigma\) 是一一映射，所以

\[\begin{align} \sum_{i=1}^n \sum_{\tau \in S_n : \tau(i) = j} \text{sgn}(\tau) b_{1, \tau(1)} \cdots b_{n, \tau(n)} & = \sum_{i=1}^n \sum_{\sigma \in S_{n-1}} (-1)^{i+j} \text{sgn}(\sigma) b_{i,j} a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n-1, \sigma(n-1)} \\ & = \sum_{i=1}^n b_{i,j} (-1)^{i+1} \sum_{\sigma \in S_{n-1}} \text{sign}(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n-1, \sigma(n-1)} \\ & = \sum_{i=1}^n b_{i,j} (-1)^{i+j} M_{i,j} \end{align}\]

由公理生成定义

\(\forall A \in M_n, A = (a_1, \ldots, a_n)\)，其中 \(a_i\) 表示第 \(i\) 行， \(E=(e_1, \ldots, e_n)\) 表示单位矩阵。

\[\begin{align} \mathcal{D}(A) & = \mathcal{D}(a_1, \ldots, a_n) \\ & = \mathcal{D}\left(\sum_{i=1}^n a_{1i}e_i, \ldots, a_n \right) \\ & = \sum_{i=1}^n a_{1i} \mathcal{D}\left(e_i, \ldots, a_n \right)\\ & = \sum_{i=1}^n a_{1i} \mathcal{D} \left( e_i, \sum_{j=1}^n a_{2j}e_j\ldots, a_n \right) \\ & = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{1i} a_{2j} \mathcal{D}\left( e_i, e_j, \ldots, a_n \right) \\ & = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \cdots \sum_{k=1}^n a_{1i} a_{2j} \cdots a_{nk} \mathcal{D}\left(e_i, e_j, \ldots, e_k \right) \end{align}\]

根据第一公理，可以证明引理：\(\mathcal{D}(\ldots, a, \ldots, a, \ldots) = 0\)。

\[\begin{align} \mathcal{D}\left(A \right) & = \sum_{i_1} \sum_{i_2 \neq i_1} \cdots \sum_{i_n \neq i_1 \land i_n \neq i_2 \land \cdots} a_{1i_1} a_{2i_2} \cdots a_{ni_n} \mathcal{D}\left(e_{i_1}, \ldots, e_{i_n} \right) \\ & = \sum_{\sigma\in S_n} \mathcal{D}\left(e_{\sigma(1)}, \ldots, e_{\sigma(n)} \right) \prod_{i=1}^n a_{i \sigma(i)} \end{align}\]

下面就需要确定 \(\mathcal{D}\left(e_{\sigma(1)}, \ldots, e_{\sigma(n)} \right)\) 的符号，通过交换变成 \(\mathcal{D}\left(e_1, \ldots, e_n \right)\) 。设 \(h = \sigma^{-1}\) 。

• \(e_1\) 所在的位置是 \(h(1)\)，需要移动到 \(1\) ，通过交换 \(k_1\) 次；
• \(e_2\) 移动到 \(2\) 需要交换 \(k_2\) 次；

不难发现，\(k_1\) 等于比 \(1\) 大但是在它前面的数字个数，也就是逆序对数，\(k_2\) 等于比 \(2\) 大但是在其前面的数字个数，也是逆序对数，所以 \(k_1+k_2+\cdots + k_n = k\) 等于总的逆序对数目，如果 \(k \equiv 0 (\text{mod } 2)\)，则称这个排列 \(\sigma\) 是偶排列，否则为奇排列。

\[\mathcal{D}\left(A \right) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_\sigma \prod_{i=1}^n a_{i \sigma(i)}\]

通过最终的定义式，容易看出，总共有 \(n!\) 项求和，因为 \(S_n\) 全排列的数目是 \(n!\) ，每项由 \(n\) 项因子组成，这 \(n\) 项因子来自矩阵 \(A\) 的不同行不同列，不难看出行和列的地位是相等的。